Сейчас Абызову 46 лет. Он родился в Минске и впервые пошёл работать в 14 лет, поскольку семья нуждалась в деньгах после смерти отца. После учёбы в интернате он окончил механико-математический факультет МГУ, где уже на первом курсе зарегистрировал первую компанию — по продаже вещей из Турции. В 1990-х годах он занимался бизнесом: от продажи кетчупов и сигарет из Болгарии (СП «ММБ-групп») до продажи удобрений, зерна и других товаров предприятий Западной Сибири (ОРТЭК, в итоге продана «Сибнефти»). Там Абызов в том числе сталкивался с «неформальными структурами», которые «требовали дополнительной оплаты» — неофициальная биография Абызова от «Ведомостей»

С 1998 по 2005 год Абызов работал главой департамента энергетической компании РАО «ЕЭС России». «Он жёсткий, упрямый и отмороженный. Хорошо разбирался в психологии людей, знал, у кого какие интересы, и это использовал», — описывал Абызова тогдашний вице-премьер Борис Немцов — из того же материала «Ведомостей». Абызов ушёл из «ЕЭС России» из-за отсутствия «вдохновения», а с 2006 по 2011 год возглавлял советы директоров в бизнес-группе RU-COM и «Мостотресте»

Во власть Абызов пришёл по приглашению Дмитрия Медведева, который хотел создать «большое правительство», действующее совместно с «гражданским обществом». А в декабре 2011 года, за полгода до назначения, он посетил митинг на Болотной площади против итогов думских выборов. Абызов объяснил это желанием «оценить обстановку», но на другие акции не ходил — профайл от Forbes;

В мае 2012 года Абызов стал первым и последним министром для организации работы комиссии по координации деятельности «Открытого правительства». Поскольку чиновник не руководил никаким ведомством, он получил прозвище «министра без портфеля». В мае 2018 года правительство обновили, упразднив должность. По мнению Абызова, он проделал «серьёзную работу» и «заложил фундамент» открытости чиновников. Но журналисты сочли идею Медведева безрезультатной — мнения обозревателей «Ведомостей» и «Коммерсанта»

Абызов стал самым богатым членом правительства в 2015 году. Спустя год он занял второе место, но нарастил заработок и развёлся с супругой. Пресс-служба чиновника объясняла доходы прибылью от активов, переданных в доверительное управление. В 2018 году Forbes поставил Абызова на 133 строчку рейтинга богатейших бизнесменов России с состоянием в 600 миллионов долларов — расшифровка его интервью «Дождю», где он в том числе говорит об отсутствии подозрений в коррупции и жизни на «понятные для общества средства»

Обвинение Следственного комитета против Абызова строится вокруг одной сделки по продаже четырёх энергокомпаний, пишет «Коммерсант». Экс-министр обвиняется в мошенничестве и организации преступного сообщества с использованием служебного положения. По версии следствия, подконтрольные ему структуры продали энергокомпании за 4 миллиарда рублей при реальной стоимости в 186 миллионов рублей. Помимо Абызова допросили ещё пять его сообщников, которые по версии следствия принимали участие в сделке.